Capítulo 12: HÁBITOS DE LA MENTE

Cálculo

La experiencia repetida con los cálculos en contextos significativos también favorecerá la capacidad superior de juzgar cuándo es más apropiado hacer el cálculo mental o escrito, o con la ayuda de una calculadora o computadora. Cada uno de estos métodos tiene una función legítima en la solución de problemas, aunque sus aplicaciones pueden ser diferentes en circunstancias distintas.Habilidades numéricas básicas. En la vida cotidiana, uno debe ser capaz de hacer cálculos mentales simples. Sin embargo, la cantidad real de cálculo mental aritmético necesario es muy limitada y está dentro de la capacidad de todos los individuos normales para aprender. Esta habilidad requiere, antes que todo, que la persona memorice y sea capaz de recordar de inmediato ciertos hechos numéricos:

* Las sumas, diferencias y productos de números enteros del 1 al 10.

* Los equivalentes decimales de las fracciones comunes clave mitades, tercios, dos tercios, cuartos, tres cuartos, quintos, décimos y centésimos (pero no sextos, séptimos, novenos y otras fracciones que rara vez encuentra la mayoría de la gente).

* La relación entre las fracciones decimales y los porcentajes (como la equivalencia de 0.23 y 23%).

* Las relaciones entre 10, 100, 1000, un millón y mil millones (por ejemplo, saber que un millón es mil veces mil). Expresadas como potencias de 10, estas relaciones son, sucesivamente: 101, 102,103, 106, and 109.

Hay dos tipos de cálculo mental que cualquiera debe realizar:

* La adición de cualquier par de números con dos dígitos cada uno.

* La multiplicación y división de cualquier número por 2, 10 y 100, a uno o dos dígitos significativos.

Destrezas de cálculoEn la vida cotidiana, y especialmente en el centro de trabajo, casi todo mundo tiene la necesidad de hacer cálculos. Hasta fechas recientes, el papel y el lápiz eran los medios más comunes para resolver los problemas que la gente no podía hacer por aritmética mental. Para la mayoría de los estudiantes, las matemáticas escolares significan hacer cálculos en papel. Esto, por lo general, toma la forma de aprendizaje para saber cómo hacer una división larga, encontrar porcentajes, obtener razones, pero no para aprender por qué funcionan tales algoritmos, cuándo se deben usar o cómo darle sentido a las respuestas.El advenimiento de la pequeña y económica calculadora electrónica ha hecho posible que cambie la situación radicalmente. Debido a que las calculadoras son tan rápidas, pueden hacer que haya tiempo de enseñanza disponible en la escuela para hacer y aprender matemáticas reales. Los estudiantes pueden aprender con facilidad cómo descifrar los pasos para resolver los problemas numéricos ordinarios, qué operaciones usar y cómo comprobar el carácter razonable de sus respuestas. La educación universal en matemáticas llega a ser una posibilidad real.La ventaja de la calculadora no solamente es pedagógica. Los cálculos con papel y lápiz son lentos, sujetos a error y conceptualmente misteriosos para la mayoría de los usuarios, como lo son todos los instrumentos electrónicos. Cuando se desea precisión, cuando los números que se marcan tienen muchos dígitos, o cuando la operación tiene varios pasos, la calculadora ofrece muchas ventajas prácticas por encima del uso del papel y el lápiz. Pero dichas ventajas no se pueden evidenciar a menos que las personas aprendan a utilizar las calculadoras de manera inteligente. El uso de estos instrumentos requiere destreza, no compensa los errores humanos de razonamiento, con frecuencia ofrece respuestas con más precisión que la que ameritan los datos y puede fallar por un error de operación. La clave es que los estudiantes comiencen a usar las calculadoras desde etapas tempranas y que las empleen siempre en los años escolares en tantas materias como sea posible.Cualquiera debe ser capaz de emplear una calculadora para hacer lo siguiente:

* Sumar, restar, multiplicar y dividir con números enteros o decimales (pero no potencias, raíces o funciones trigonométricas).

* Encontrar el equivalente decimal de cualquier fracción.

* Calcular qué porcentaje de un número es otro y sacar el porcentaje de cualquier número (por ejemplo, 10% de descuento, 60% de ganancia).

* Encontrar el recíproco de cualquier número.

* Determinar los índices de las magnitudes (por ejemplo, velocidad a partir de tiempo y distancia) y magnitudes a partir de índices (por ejemplo, el interés simple que se debe de pagar con base en el conocimiento de la tasa de interés y el capital, pero no cálculos utilizando interés compuesto).

* Calcular perímetros y áreas de rectángulos, triángulos y círculos, y los volúmenes de sólidos rectangulares.

* Encontrar la media de un conjunto de datos.

* Determinar mediante sustitución numérica el valor de expresiones algebraicas simples por ejemplo, las expresiones aX + bY, a(AB),y(AB)(C+D).

* Convertir unidades compuestas (como yenes por dólar, en dólares por yen, kilómetros por hora, en metros por segundo).

Para lograr el uso efectivo e integral de las calculadoras, cualquiera debe ser capaz de hacer lo siguiente:

* Leer y seguir instrucciones paso a paso dadas en manuales de calculadora cuando se aprenden nuevos procedimientos.

* Elaborar y escribir algoritmos simples para resolver problemas que toman varios pasos.

* Descifrar qué unidades (como segundos, centímetros cuadrados, pesos por depósito lleno) de la respuesta se obtendrán a partir de las entradas de un cálculo. La mayor parte de los cálculos del mundo real tienen relación con las magnitudes (números asociados con unidades), pero las calculadoras ordinarias solamente responden con números. El usuario debe poder traducir el 57 de la calculadora, por ejemplo, en 57 kilómetros por hora.

* Redondear el número que aparece en la respuesta de la calculadora a un número de cifras significativas, razonablemente justificado por las cifras de las entradas. Por ejemplo, para la velocidad de un coche que recorre 200 kilómetros (más o menos un kilómetro o dos) en tres horas (más o menos un minuto o dos), 67 kilómetros por hora es suficientemente exacto, 66.67 kilómetros por hora es demasiado y 66.666667 kilómetros por hora es ridículo.

* Juzgar si una respuesta es razonable al compararla con una respuesta estimada. Un resultado de 6.7 o 667 kilómetros por hora para la velocidad en carretera de un automóvil, por ejemplo, debe rechazarse a la vista.

Estimación

Hay muchas circunstancias en las cuales una respuesta aproximada es tan útil como lo sería una respuesta más precisa. De hecho, ésta puede ser la regla más que la excepción. La estimación de respuestas aproximadas con frecuencia sustituye a una medición precisa o a un cálculo cuidadoso, pero en la mayor parte de los casos servirá como un control de los cálculos, que se realizan mediante calculadoras electrónicas o papel y lápiz. La habilidad para estimar se basa en el sentido de cuál es el grado adecuado de precisión en una situación particular, lo cual, por su parte, depende de comprender el contexto del problema y el propósito del cálculo. Entre las destrezas de estimación específicas, cualquiera debe ser capaz de estimar lo siguiente:

* Longitudes, pesos y lapsos conocidos.

* Distancias y tiempos de viaje a partir de los mapas.

* El tamaño real de los objetos, con base en el uso de dibujos a escala.

* Probabilidades de los resultados en situaciones familiares, ya sea con base en su historia (como es el hecho de que cierto equipo de fútbol ha ganado su juego de apertura ocho veces en los últimos diez años) o con base en el número de posibles resultados (por ejemplo, hay seis lados en un dado).

Sucede con frecuencia que una respuesta mostrada en una calculadora está equivocada porque la información que entró fue errónea, se ingresó incorrectamente o se utilizó la secuencia de operaciones equivocada. En situaciones donde no hay base para juzgar si es apropiada la respuesta que presenta la calculadora, cualquiera debe ser capaz de imaginarse una estimación aproximada de cuál debe ser la respuesta antes de aceptarla. Esto incluye la capacidad de hacer tres cosas:

1. Realizar estimaciones aproximadas de sumas, diferencias, productos, cocientes, fracciones y porcentajes.

2. Detectar la fuente de cualquier disparidad importante entre la respuesta estimada y la calculada.

3. Especificar una cantidad solamente a la potencia de 10 más cercana. Así, la población mundial es más o menos de 109(mil millones) o 1010 (10 mil millones). Algo que está mejorado por «un orden de magnitud» cambia por un factor de cerca de 10, esto es, cualquier cantidad de cuatro o cinco veces a 20 o 30 veces más grande (o más pequeña). Un factor de 40 o algunos cientos, por ejemplo, sería más como dos órdenes de magnitud.

Capítulo 12: HÁBITOS DE LA MENTE

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