Archivo de la categoría: Matemática
Tablas del 6, 7, 8 y 9 en sus manos!
SPREAD THE KNOWLEDGE!
Step 1Ascribe values
– In each hand, ascribe a value from 6 to 10 to each finger
Step 2How to multiply
Choose the numbers to multiply. Example: 7×8
Step 2
Put together the fingers whoses values you want to multiply.
Step 3
Now count the touching fingers and the ones below them. The number you get will be the tens. Example: 5
Step 4
Now multiply the fingers above the ones touching of the left hand and the ones in the right hand. The number you get will be the units. Example: 3×2=6
Answer: 56
**In some cases you will get a number of units bigger than nine, in that case sum both quantities**
Example: 7×6
– Touching fingers + the ones below -> 3
– Fingers above the ones touching in left hand -> 3
3 x 4 = 12
– Fingers above the ones touching in the right hand -> 4
3 (tens)
Now we’ve got 3 tens and 12 units -> + 12 (units)
———
42 (final result)
Step 3Another trick for the table of 9
Here’s an extra trick for the whole table of nine.
– First put your hands in front of you
– Then ascribe values from 1 to 10 to your fingers
– Fold the finger whose value you want to multiply nine times
– The fingers remaining unfolded in the left will be the tens
– The fingers remaining unfolded in the right will be the units
Example: 9 x 4
– Fold the fourth finger
– Fingers remaining unfold in the left –> 3 (tens)
– Fingers remaining unfold in the right -> 6 (units)
– Final result -> 36
vía Tables of 6, 7, 8 and 9 in your hands.
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La red social en la que aprenderás matemáticas – Sangakoo
Sangakoo es una nueva manera de aprender matemáticas: eliges el tema por el que quieres empezar, resuelves los ejercicios y creas tus propios problemas de matemáticas.
vía La red social en la que aprenderás matemáticas – Sangakoo.
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Google: Exploring Computational Thinking
Exploring Computational Thinking
vía Google: Exploring Computational Thinking.
Google is committed to promoting computational thinking throughout the K-12 curriculum to support student learning and expose everyone to this 21st century skill.
What is Computational Thinking? Computational thinking (CT) involves a set of problem-solving skills and techniques that software engineers use to write programs that underlay the computer applications you use such as search, email, and maps. Below is a list of specific techniques along with real world examples from our every day lives.
- Decomposition: When we taste an unfamiliar dish and identify several ingredients based on the flavor, we are decomposing that dish into its individual ingredients.
- Pattern Recognition: People look for patterns in stock prices to decide when to buy and sell.
- Pattern Generalization and Abstraction: A daily planner uses abstraction to represent a week in terms of days and hours, helping us to organize our time.
- Algorithm Design: When a chef writes a recipe for a dish, she is creating an algorithm that others can follow to replicate the dish.
CT Models in K-12 Curriculum
Several committed teacher-contributors in collaboration with Google engineers have put together classroom-ready lessons and examples showing how educators can incorporate CT into the K-12 curriculum. Click below to browse materials by subject:
Resources for Educators
Get started on building your own CT curriculum with these starter materials and related resources. For more resources or to join in a CT-related discussion with other educators, visit our moderated ECT Discussion Forums.
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Ordenes de Magnitud | Manzana Mecánica
a veces, cuando no conoces la respuesta exacta a un problema matemático, algo tan importante como conocer la respuesta es conocer que tan grande puede ser el número que buscamos. Aquí les reproduzco 3 problemas sobre Ordenes de Magnitud, donde lo importante es que no hay la respuesta exacta. Si tienen parientes en edad escolar se los pueden hacer como preguntas de ingenio…
En micro a la Luna
La luna está a unos 300 mil kilómetros de distancia de la tierra. Si viajásemos al encuentro de la Luna en un microbús (micro para los amigos), ¿Cuánto tiempo nos demoraríamos en llegar? ¿Días, semanas, meses o años…?
Solución: Vamos a asumir una velocidad de 30 km/hora en el microbús (es bastante menor de los 50 km/hora a los que puede llegar a viajar en realidad, pero vamos usar ese número porque es más fácil para la división hecha mentalmente). 300.000 kilometros dividido por 30 km/hora nos da 10 mil horas. ¿Cuánto tiempo son 10 mil horas?
Un día tiene 24 horas, pero dividir mentalmente 10 mil entre 24 es complicado, así que vamos a aproximarlo con días de 25 horas. 25 es 100 dividido entre 4, así que mentalmente hacemos 10 mil dividido por 100, eso es 100. Pero ahora multiplicamos por 4 para terminar la división por 100/4. Así nos quedan 400 días. Un año tiene 365 días, así que nos demoramos algo más de 1 año en viajar a la Luna en micro. Una estimación más razonable es que en dirección a la Luna no hay tráfico, así que a velocidad crucero, podríamos llegar a la Luna en la mitad del tiempo, en tan solo 6 meses aprox. ¿Quién lo hubiera pensado?.
Los colores de la pantalla
En la actualidad, casi todas las pantallas de computador muestran las imágenes en modo «color verdadero», lo que quiere decir que las imágenes se muestran en profundidad de color de 24 bits (aunque digan que son de 32 bits, solo 24 se usan como información de color). Eso quiere decir que hay 256 intensidades de color rojo, 256 de color verde y 256 de color azul. ¿Cuantos colores se llegar a pueden mostrar con estos componentes de color? ¿Miles, cientos de miles, millones, cientos de millones…?
Solución: La solución exacta son las combinaciones de 256 intensidades de rojo multiplicado por las 256 de verde multiplicado por las 256 de azul, o sea, 256 x 256 x 256. Pero ahora vamos a usar otro camino. El número 256 x 256 x 256 es lo mismo que los 24 bits de profundidad de color, o sea 2 elevado a 24 combinaciones. Ahora, solo necesitamos una buena aproximación para 2 elevado a 24.
Una aproximación que nos saca de apuros es esta: 2 elevado a 10 ( 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 ) es 1024. Una buena aproximación de 2 elevado a 10 es el número mil. Así, usando las reglas de potencias tenemos que 2 elevado a 24 es igual a 2 x 2 x 2 x 2 x (2 elevado a 20) o sea 16 x (2 elevado a 10) x (2 elevado a 10) o lo mismo 16 x mil x mil, que son 16 millones. Estos son los 16 millones de colores que pueden haber encontrado en algun folleto que acompaña a su monitor del computador.
Los granos de arroz en el tablero de ajedrez
Hay una historia que parece que se supone que aparece en «El hombre que calculaba» pero no lo he podido confirmar (leí el libro hace mucho tiempo!). Se supone que un rey había quedado desconsolado por la pérdida de un hijo en batalla. Un sabio le regala el recién inventado juego del ajedrez, que logra distraerlo de su aflicción, por lo que decide recompensar al sabio con lo que le pida. El sabio le ofrece el siguiente trato: colocar un grano de arroz en la primera casilla del tablero, luego dos granos en la siguiente casilla y así sucesivamente el doble en cada siguiente casilla. El rey lo observa incrédulo y le dice que le parece que es un premio minúsculo y absurdo para semejante entretención. ¿Cuánto arroz es lo que le pide el sabio al rey? ¿Cientos de kilos, toneladas, cientos de toneladas…?Solución: Aquí uso el mismo truco de aproximar 2 elevado a 10 como «mil». El tablero de ajedrez tiene 8 x 8 casillas (64 casillas en total). Comenzando con 1 grano de arroz, luego 2, luego 4 … llegamos a la casilla 64 donde se deben colocar 2 elevado a 63 granos. En total 1 + 2 + 4 + … + 2 elevado a 63 son casi lo mismo que 2 elevado a 64.
De aquí aproximamos 2 elevado a 64 como (2 x 2 x 2 x 2) x (2 elevado a 60). Como 2 elevado a 10 es aproximadamente 1.000, entonces 2 elevado a 60 es aproximadamente 1.000.000.000.000.000.000 (un trillón!). En total, el tablero debería tener unos 16 trillones de granos de arroz(!!!). Si estimamos que necesitamos unos 16 granos de arroz por gramo, tenemos unos 1.000.000.000.000.000 kilogramos de arroz. Un millón de millones de toneladas de arroz. Según la wikipedia, la producción mundial de arroz es del orden de 600 millones de toneladas, o sea, bastante menos que el hipotético premio al sabio de la historia. La misma historia dice que el sabio le hizo entender al rey del error en que se encontraba, y luego el sabio fue hecho sabio del palacio para consulta permanente del rey.
Ordenes de Magnitud | Manzana Mecánica
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La imposibilidad de imaginar números grandes o cosas grandes
La imposibilidad de imaginar números grandes o cosas grandes
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Niños en Casa
Los mejores sitios para que los niños puedan aprender en casa, jugar, estudiar y entretenerse con ejercicios, actividades, juegos e ideas.
Juegos
- Juguetes y proyectos de ciencia construidos con materiales de fácil acceso. Toys from Trash
- Muchos juegos de distintos mueseos Show Me – free games and fun stuff for kids from UK museums, galleries and science centres
Manualidades
- Compus de papel eno blog: paper mac world
Actividades en casa
- 101 Things To Do This Summer – Homeschooling Articles – Homeschool.com – Your Virtual Homeschool 101 cosas para hacer este verano Mientras que los niños gozan de la libertad que viene con los meses del verano, todavía tienen gusto de tener una pequeña estructura a su diversión. ¡La lista siguiente de actividades ayudará a tu familia a tomar la ventaja completa de la chispa del verano y de la ayuda tu creatividad para hacer el verano todo que debe ser! Algunos artículos requieren el permiso parental (tal como adoptar un animal doméstico) pero otros son convenientes para que los pequeños terminen en sus propios proyectos. ¡Algunos se pueden incluso hacer con la familia entera! Tomar un momento para repasar la lista, visitar los Web site, y ver qué mejor juego de las actividades tu familia.
- Cinco cosas peligrosas que deberíamos dejar hacer a los niños Este vídeo del año pasado es una charla de las siempre recomendables conferencias TED con Gever Tulley, fundador de la Tinkering School. Se titula Cinco cosas que deberíamos dejar hacer a los niños [Flash, 9 min., inglés] y presenta lo que en su opinión son cinco cosas aparentemente peligrosas que los adultos deberíamos dejar hacer a los niños para no sobreprotegerlos y que vayan desarrollando habilidades y aprendiendo de la vida.
Películas
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SITIOS EDUCATIVOS RECOMENDADOS |
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| Creando música online con partituras (126) |
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Juegos con los personajes de Disney (237) |
| Crucigramas en Inglés (143) |
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Material de matemática (645) |
| Dibujando como Picasso (249) |
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Samoga Museo Interactivo (81) |
| Efecto Fotoeléctrico (66) |
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Simon visual (131) |
| Juego para practicar el arrastre (198) |
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Trayectoria frente a desplazamiento (59) |
- Ciencia infinita Este proyecto Ciencia infinita, propone una serie de actividades de carácter lúdico que desarrollen la creatividad e inicien a la gente menuda y a la gente joven en el método científico. Nos proponemos usar materiales domésticos y utilizar algunas claves de la educación informal como la divergencia y la autonomía en el aprendizaje.No buscamos llenaros de contenidos, sino escuchar lo que ya sabéis, aprovecharlo y conocer métodos interesantes para discutir el conocimiento adquirido por vuestra propia experiencia en casa, o de vuestras investigaciones en Internet, o en los documentales televisivos.Que disfrutéis.
Matemática
- Matemática…¿Estás ahí? por Adrian Paenza
- Matemática … ¿Estás ahí? Episodio 2 por Adrián Paenza
- Geni: Aplicación que permite generar ejercicios matemáticos con números naturales y reales. Es posible con la aplicación web producir una serie infinita y cambiante de ejercicios matemáticos con números naturales, enteros, racionales, potencias y radicales con operaciones tales como sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, extracción de factores, etc., y de dificultad también variable, según las necesidades del profesor.
http://www.xtec.cat/iesterresdeponent/geni/castella/portada.html
- El Mathcaching tenes que localizar un premio oculto que hay que encontrarlo en una página web determinada, parte de cuya dirección (URL) está formada por la solución de una serie de problemas matemáticos de más o menos dificultad, que además puede aplicarse a diversos campos (geometría, cálculo, álgebra, etcétera.)
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Ejercicios de matemáticas gratis para imprimir. Problemas de sumar, restar, multiplicar, o dividir de números enteros
Genera hojas de ejercicios de matemáticas gratis
Adicionar (sumar), subtraer (restar), multiplicar o dividir con números enterosEste generador de hojas de ejercicios hace toda clase de problemas de matemáticas básicas—adición, sustracción, multiplicación o división de números enteros.
Se puede realizar ejercicios de tabla de multiplicar, de restar números grandes o no tan grandes, de sumandos que faltan, de división con residuos, de operaciones en columnas, etcetera. Se permite el uso de números negativos. ¡Haga experimentos con las opciones para hacerlas al gusto!
Hojas ejemplares:
Instrucciones mas detalladas sobre este generador de hojas de ejercicios
Hojas de ejercicios de las operaciones básicas de mátematicas
Operación: Adición Sustracción Multiplicación División Formato: Horizontal Vertical No. de Columnas:
No. de Filas:
(estas cifras establecen la cantidad de ejercicios)
Min: Max: Incremento:
OEnumerado: Valor 1: Valor 2: Resuelto:
Símbolo de
multiplicar:* x ∙ Símbolo de
dividir:/ ÷ Espacio adicional para operaciones en columnas o división: lineas
Sumandos, minuendos, sustraendos, factores, divisores etc. que faltan
Solo división exacto (sin residuo)
No respuestas negativas (solo en resta)Sin prestar (solo en resta)
Con prestar (solo en resta)
Dejar ambas cajas arriba sin chequear si quiere problemas sin prestar y con prestar.Cambios aleatorios del ubicación del signo «=»
Cambios aleatorios entre el órden de valores 1 y 2
Fuente: Por defecto Arial Courier Courier Nuevo Helvetica sans-serif Times New Roman Verdana Tamaño de la letra: 8pt 10pt 12pt 14pt 16pt 18pt 24pt 36pt Espacio:
Título e
instrucciones adicionales
(se permite códigos HTML)
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Ciencia infinita
Este proyecto Ciencia infinita, propone una serie de actividades de carácter lúdico que desarrollen la creatividad e inicien a la gente menuda y a la gente joven en el método científico. Nos proponemos usar materiales domésticos y utilizar algunas claves de la educación informal como la divergencia y la autonomía en el aprendizaje.
No buscamos llenaros de contenidos, sino escuchar lo que ya sabéis, aprovecharlo y conocer métodos interesantes para discutir el conocimiento adquirido por vuestra propia experiencia en casa, o de vuestras investigaciones en Internet, o en los documentales televisivos.
Que disfrutéis.
Esta es la portada del primer libro de la colección: “Ciencia Infinita”.
Puedes ampliar la información sobre cada experimento que tienes en el libro, y entrar en los enlaces que te proponemos en cada capítulo si pinchas en el enlace correspondiente:
Tags: ciencias, enseñar, educación infantil
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¿La matemática puede ser más romántica que una película de Hollywood? | Debates : EID : Ciencia | educ.ar
¿La matemática puede ser más romántica que una película de Hollywood?
¿El conocimiento matemático es tan importante al punto de convertirse en la clave de una resolución feliz para una historia de amor? ¿Tiene futuro una relación amorosa que comienza sobre una banda de Moebius? La topología, además de ser la más joven de las ramas clásicas de las matemáticas ¿es la más sentimental? ¿Son compatibles la matemática y las emociones?
Podríamos hacer otras cuantas más, pero estas preguntas parecen ser lo suficientemente interesantes como para empezar. ¿Empezar qué?
En pleno siglo XXI, en el que se hacen estudios para prácticamente cualquier cosa, Pau Roig, investigador y miembro de Infonomía, dice: “Me gustaría ver los resultados de un estudio que valorase la cantidad de tiempo y de dinero que desperdicia la humanidad en responder a preguntas mal formuladas. Estoy convencido de que, de poder hacerse, los resultados serían tan frustrantes que no se tardaría en exigir una asignatura en la escuela dedicada a formular buenas preguntas”.
Después de leer esta opinión de Roig, quedamos subyugados por la idea de qué difícil, importante y necesario es saber hacer buenas preguntas.
Entonces volvemos a las preguntas que formulamos en el primer párrafo. Y sabemos bien lo que NO queremos. NO nos interesa profundizar en fórmulas, ecuaciones ni abstracciones que nos provoquen dolores de cabeza. Simplemente queremos hacer preguntas que generen desafíos diferentes y que intencionalmente NO nos conduzcan a respuestas sino a nuevos interrogantes derivados, cadenas de preguntas, redes y múltiples planteos con diversos itinerarios por recorrer.
He aquí el nudo de la cuestión (más adelante también nos preguntaremos por los “nudos”). Les proponemos ver el siguiente clip de video cuyo enlace adjuntamos. Este cortometraje de animación dura aproximadamente cuatro minutos y está protagonizado por unos bellísimos personajes.
Video ¿una historia de amor topológica?
Luego de mirar el video se nos agolpa una cascada de preguntas, preguntas que podemos ensayar aquí, algo así como un juego de preguntas.
-La cinta sobre la que están los personajes de la historia ¿dónde se encuentra?
-¿Por qué decimos cinta? ¿Se trata realmente de una cinta?
-Por un momento creamos fervientemente en el escenario del cortometraje y preguntémonos: si esta cinta permaneciera inalterada como en el inicio de la historia ¿nuestros personajes se conocerían?
-¿Podríamos decir que el primer corte de tijera lo hace Cupido? ¿Por qué pensamos en Cupido? ¿Qué produce el primer corte? ¿Qué tiene de importante?
-¿Qué posibilidades se abren luego del primer corte de tijera y del empalme invertido de la cinta?
-Si bien el amor no tiene explicación –y eso lo hace tan misterioso y único- ¿por qué uno de los personajes decide cruzar la línea punteada?
-¿Cambia el escenario de la historia luego del segundo corte de tijera? ¿Los personajes han entendido qué sucedió? Y nosotros ¿qué pensamos que sucedió?
-En este punto ¿cuánto puede hacer cada personaje por alterar el rumbo de la historia? ¿Alguno de los dos tiene ventaja sobre el otro? ¿Por qué?
-¿Habría un final feliz para quienes saben matemática? ¿Habría un final triste para quienes no saben matemática?
-¿Qué creen los personajes al final de la historia?
-Para nosotros, como espectadores ¿la historia entre ellos terminó o podemos pensar que existe la posibilidad de un reencuentro? ¿Qué tendría que suceder, de ser posible, para que ese reencuentro ocurriera? ¿Esta posibilidad depende de los dos personajes o de uno de ellos?
-¿Qué medida tiene el amor? ¿Tiene sentido esta pregunta?
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LA BANDA DE MOEBIUS y OTRAS COSAS CURIOSAS
Más allá del ejercicio de formular todas las preguntas que podamos imaginar es interesante indagar los conceptos de topología, cinta de Moebius y teoría de nudos.
La cinta de Moebius, un desafío a la intuición, nota de Adrián Paenza
¿QUÉ DIJO EULER?
Euler dijo: “(…) Además de aquella parte de la geometría que trata sobre cantidades y que se ha estudiado en todo tiempo con gran dedicación, el primero que mencionó la otra parte, hasta entonces desconocida, fue Leibniz, quien la llamó geometría de la posición. Leibniz determinó que esta parte se tenía que ocupar sólo de la posición y de las propiedades provenientes de la posición y que no habría de tener en cuenta las cantidades, ni su cálculo (…) Por ello, cuando recientemente se mencionó cierto problema que parecía realmente pertenecer a la geometría, pero se presentaba de tal modo que no precisaba la determinación de cantidades ni admitía solución mediante el cálculo de ellas, no dudé en referirlo a la geometría de la posición”.
Nota relacionada: «Al fin matemáticas sin fórmulas«
TOPOLOGÍA: LA GEOMETRÍA DE LA POSICIÓN
La topología es probablemente la más joven de las ramas clásicas de las matemáticas. En contraste con el álgebra, la geometría y la teoría de los números, cuyas genealogías datan de tiempos antiguos, la topología aparece recién en el siglo XXVII, con el nombre de analysis situs, es decir, “análisis de la posición”.
De manera informal, la topología se ocupa de aquellas propiedades de las figuras que permanecen invariantes, cuando dichas figuras son plegadas, dilatadas, contraídas o deformadas.
El topólogo considera los mismos objetos que el geómetra, pero de modo distinto: no se fija en las distancias o los ángulos, ni siquiera en la alineación de los puntos. Para el topólogo un círculo es equivalente a una elipse; una bola no se distingue de un cubo: se dice que la bola y el cubo son objetos “topológicamente equivalentes”, porque se pasa de uno al otro mediante una transformación continua y reversible.
ALGUNOS DE LOS DESAFÍOS QUE ESTUDIA LA TOPOLOGÍA
La cinta
Tomen una cinta de papel y únanla por sus extremos para formar un anillo; eso sí, antes de pegarla giren uno de los extremos. La cinta resultante será la famosa Cinta de Moebius: aunque no ha dejado de ser un objeto material y simple, posee una sola cara, cosa demostrable por el simple método de trazar sobre ella una línea, recorriendo toda la longitud del papel sin levantar el lápiz ni una sola vez: la línea concluirá donde empezó, mordiéndose la cola como la serpiente mitológica.
Si ahora uno apela a una tijera y corta la cinta siguiendo el trazo, no se obtendrán, como cualquiera esperaría, dos anillos de papel: será solamente uno. Otra rareza. Si se repite la operación, el resultado serán dos aros de cinta encadenados.
Ver clip sobre cómo hacer una cinta de Moebius y experimentar con ella
PASIÓN MATEMÁTICA
Este fenómeno fue analizado inicialmente por Johann Benedict Listing, matemático alemán, y luego profundizado por otro matemático y astrónomo también alemán llamado Moebius, hace unos cuantos años.
La cinta de Moebius es uno de los “juguetes” más amados de la topología. Inspiró los dibujos del holandés M.C. Escher y fue, entre otras cosas, el punto de partida para notables relatos fantásticos de Franz Kafka, Jorge Luis Borges y Adolfo Bioy Casares.
Nota relacionada: Escher y las matemáticas
MOEBIUS Y EL CINE
La cinta también inspiró al norteamericano A.J. Deutsch a la hora de escribir «Un túnel llamado Moebius«, relato publicado en 1950, cuando la topología hacía furor en el mundillo de la ciencia ficción. La idea del cuento, magnífica por cierto, atrajo a Gustavo Mosquera R., uno de los pocos realizadores de cine en la Argentina que se animó a incursionar en el género.
Mosquera, docente de la Fundación Universidad del Cine que dirige Manuel Antín, planificó un largometraje colectivo sobre el tema, es decir, gestado en su totalidad por un plantel de casi medio centenar de alumnos, que se pusieron bajo su dirección general durante el año y pico que tardó en salir de los laboratorios.
Según los espectadores que lo vieron y opinaron en el Festival de Cine de San Sebastián, en el film “Moebius” la metáfora es contundente: un vagón de tren con más de treinta pasajeros desaparece en el circuito cerrado de los subterráneos porteños.
La tarea de búsqueda queda a cargo de un topólogo, que no consigue dar con el viejo diseñador de la Tranway hasta que, con la ayuda de una niña, logra entrar en carrera hacia la revelación final. El topólogo deduce que, a consecuencia de los múltiples cruces de vías, estas han creado una especie de lazo o cinta que interconecta con otra dimensión espacio-temporal.
Trailer de la película Moebius
«Queríamos mostrar una Buenos Aires que no se ve, con una red de subterráneos inexistente mucho más grande de la real, y ese, creo, es uno de los ganchos principales de la película. Lo que está bajo tierra, lo que no se ve, seduce y esa es una seducción universal», expresó Mosquera.
LA TEORÍA DE NUDOS Y SUS SORPRENDENTES APLICACIONES EN BIOLOGÍA MOLECULAR, FÍSICA Y QUÍMICA
Para todo el mundo antes de Euler, parecía imposible pensar en propiedades geométricas sin que la medida estuviera involucrada. Además de la banda de Moebius otro gran tema que estudia la topología es la “teoría de nudos”.
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TEORÍA DE NUDOS
La técnica de tejido, que precisa cruces y anudados de hilos, se conocía desde el neolítico. Aún en épocas anteriores, existían ya métodos que permitían unir una lámina de piedra a su mango (hacha), con tripas, nervios de animales o fibras vegetales. Lamentablemente, la descomposición de todas estas ligaduras orgánicas no permitió nunca conocer con precisión la edad de los primeros nudos.
En la época actual, los marinos se han apropiado de esta técnica, esencial para su trabajo. En 1944, el pintor C.W. Ashley (1881-1947) describió y dibujó en su libro “The Ashley Book of Knots” exactamente 3.854 nudos.
Los nudos están presentes en ámbitos tan dispares como la decoración, la industria textil, la magia, el alpinismo o la cirugía. Su estudio matemático permite en la actualidad ver su relación con la física, la química o la biología molecular.
Para el topólogo, un nudo es una curva continua, cerrada y sin puntos dobles. Esta curva está situada en un espacio de tres dimensiones y se admite que pueda ser deformada, estirada, comprimida, aunque está “prohibido” hacerle cortes. Cuando se puede, a través de diversas manipulaciones, se pasa de un nudo a otro y se dice que son equivalentes.
En general, es muy difícil decidir cuando dos nudos son equivalentes, y gran parte de la teoría de nudos está precisamente dedicada a intentar resolver esta cuestión.
Los nudos están catalogados teniendo en cuenta su complejidad. Una medida de la complejidad es el número de “cruce”, es decir, el número de puntos dobles en la proyección plana más simple del nudo. El nudo trivial tiene número de cruce cero. El trébol y la figura de ocho son los únicos nudos con número de cruce tres y cuatro, respectivamente.
Hay dos nudos con número de cruce cinco, tres con seis y siete con número de cruce siete. Pero el número crece radicalmente: hay 12.965 nudos con trece o menos cruces en una proyección minimal, y 1.701.935 con dieciseis o menos cruces.
Los nudos se pueden sumar, restar, multiplicar e incluso dividir. ¡¡Existe el álgebra de los nudos!! Pero cuando los nudos se complican, su simple descripción no basta para distinguirlos. Así, partiendo de su forma (la geometría del nudo), se han desarrollado fórmulas que funcionan para todos los nudos.
APLICACIONES EN BIOLOGÍA MOLECULAR
El ADN, el material genético más importante en la mayoría de los organismos, se ve habitualmente como una doble hélice, en la que dos cadenas de nucleótidos complementarios se enrollan a lo largo de un eje común. El eje de esta hélice doble no es lineal, sino curvo.
La doble hélice puede moverse en el espacio para formar una nueva hélice de orden mayor; en este caso se habla de ADN sobreenrollado. Parece que una gran parte de los ADN conocidos se muestran de esta manera sobreenrollada en algún momento del ciclo de su vida.
El ADN circular sobreenrollado es una doble hélice de moléculas, donde cada cadena de polinucleótidos forma un anillo. Cada propiedad física, química y biológica del ADN (comportamiento hidrodinámico, energético, etc.) es afectado por la circularidad y las deformaciones asociadas al sobreenrollamiento.
La comprensión del mecanismo del sobreenrollamiento y las consecuencias de estas características estructurales para el ADN, es un problema matemático bastante complejo, que hace intervenir dos ramas de la matemática: la topología y la geometría diferencial.
Para estudiar matemáticamente el sobreenrollamiento, hay que construir un modelo en el que la estructura se represente como un estrecho lazo torcido de espesor infinitesimal. Por ello, es necesario describir los nudos y encontrar características esenciales que permitan distinguirlos -en otras palabras- clasificarlos sin riesgo de confusión.
Estas características, que deben permanecer inalterables a lo largo de la deformación del nudo, se llaman invariantes del nudo. En el estudio de la replicación del ADN celular, se encuentran sacos de nudos. El ADN está más o menos enrollado sobre si mismo y en el momento de la replicación se forman nudos que están controlados por proteínas que se llaman topoisomerasas. Conociendo mejor estas proteínas y su interacción con el ADN, se abren nuevas perspectivas en la lucha contra las enfermedades genéticas, los virus, las bacterias o el cáncer.
OTRAS APLICACIONES EN CIENCIA
Estudios recientes de las ecuaciones que determinan flujos (como el de la atmósfera alrededor de nuestro planeta) muestran cómo las partículas pueden moverse en complicados itinerarios de nudos.
Combinando la teoría de nudos con la teoría física de cuerdas, se ha podido dar una descripción unificada de las cuatro fuerzas fundamentales de la naturaleza: gravedad, electromagnetismo, interacciones fuertes e interacciones débiles entre partículas.
Los químicos crean en el laboratorio moléculas anudadas, cuyas propiedades les permiten modificar su forma o desplazarse en función de factores eléctricos, químicos o luminosos, decididos por la persona que dirige la experiencia.
Estas nuevas moléculas se parecen en algunas ocasiones a aquellas que, en la naturaleza, estuvieron en el origen de la vida. Otras, permiten imaginar memorias para futuros ordenadores moleculares y ya no electrónicos.
Comenzamos hablando del amor y terminamos enmarañados con nudos … la matemática nunca deja de sorprendernos.
- Autor: Carina Maguregui |
- 10-12-2008 |
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Árbol matemático de fórmulas
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Tags: matemática, fórmula
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Juego de Matemática +Internet – Math Cache Directions – MathBits.com
El Mathcaching tenes que localizar un premio oculto que hay que encontrarlo en una página web determinada, parte de cuya dirección (URL) está formada por la solución de una serie de problemas matemáticos de más o menos dificultad, que además puede aplicarse a diversos campos (geometría, cálculo, álgebra, etcétera.)
Basic Math http://MathBits.com/Caching/BasicOpenCache1.html
Topics: computations, fractions, ratios, percents, order of operations, signed numbers, exponents, word problem translations, measurement conversions, sum of angles in a triangle, mean, median, expressions, probability, patterns.Algebra 1 http://MathBits.com/Caching/OpenCache1.html
Topics: order of operations, equation solving, integer and consecutive integer word problems, slope, distance, midpoint, area, radicals, exponents, factoring, quadratic equations, rational equations.Geometry http://MathBits.com/Caching/GeoOpenCache1.html
Topics: angles, reasoning, parallel and perpendicular lines, triangles, congruent triangles and proof, quadrilaterals, area and volume, polygons, similarity, circles, transformations.
Algebra2 http://MathBits.com/Caching/Alge2OpenCache1.html
Topics: absolute value equations and inequalities; radical equations; functions: domains, composition, inverse; logarithms; exponentials; rationalizing denominators; quadratics: graphing, discriminant, complete the square; complex fractions; asymptotes; rational equations; sequences and series, Binomial Theorem; probability.Trigonometry http://MathBits.com/Caching/TrigOpenCache1.html
Topics: right triangle trig, angle relationships, conversion between radians and degrees, reference angles, exact values, area of triangle, Law of Sines, Law of Cosines, amplitude, frequency, period, vertical shift, phase shift, inverse trig functions, trig identities, trig equations.
Math Cache Directions – MathBits.com
Tomado de http://www.microsiervos.com/archivo/ciencia/mathcaching.html
Tags: matemática, internet, juegos
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Juego Binario
Origami: arte + matemáticas + ciencia | Microsiervos (Arte y Diseño)
Origami: arte + matemáticas + ciencia | Microsiervos (Arte y Diseño)
Estoy indagando desde hace tiempo sobre el origami, el arte japonés de la papiroflexia, a raiz de una apasionante presentación de Robert Lang en TED, que me dejó totalmente impactado por los avances en «origamis modernos» que allí explicó que ha desarrollado en las últimas décadas.
Al parecer de todas las variantes de los origamis tradicionales los más «puros» son los que se construyen con hojas de papel cuadradas, en las que sólo se permiten pliegues (sin cortes ni pegamento). Esta limitación conlleva una mayor creatividad y elegancia. Me recordó la diferencia entre los sudokus bien y mal diseñados: los mejores tienen una solución lógica única, y los números-pista inciales se sitúan en las casillas con una bella simetría rotacional.
Algo asombroso de la charla de Robert Lang es que en su investigación sobre el arte de los origamis descubrió ciertos axiomas matemáticos que gobiernan la creación de los milenarios origamis, algunos de los cuales se conocían desde la antiguedad, otros no. Mediante simulaciones por ordenador descubrió que se podía crear prácticamente cualquier figura compleja reduciéndola de forma matemática a un esquema, siendo el ordenador el que exploraría esas fórmulas para indicar los pliegues en el papel, que luego el artista habría de realizar.
Lang creó entonces TreeMaker (Mac, Linux, Windows), un software que desde los 90 ha evolucionado año tras año. Además de para hacer figuritas de animales tradicionales se puede utilizar para crear otras formas mucho más complejas. Impresiona saber que todas están creadas con hojas de papel sin recortar ni pegar.
En su colección hay también objetos cotidianos, polipoliedros y figuras geométricas, entre otras.
El broche final de la charla explica algo fascinante: cómo algunas de las técnicas milenarias del plegado de origamis, ahora completadas con su software para creación de nuevas formas, pueden llevar a avances en el plegado de objetos que enviamos al espacio o la forma de hacer simulaciones sobre el plegado de airbags de los coches.
Como parte de mi interés en el tema compré hace tiempo un par de libros en castellano; uno llamado Papiroflexia en Caja para principiantes y otro llamado 50 Supermodelos de papiroflexia. El primero de ellos resulta un tanto incompleto y algunas instrucciones incluso son erróneas por lo que he visto; del segundo todavía estoy probando diversos modelos, es más avanzado.
Algunos otros enlaces sobre origami que encontré interesantes son
- Corrugaciones de Origami: Waterbomb, muy matemático
- 20 Amazing Origami Art works, con unos bellísimos objetos
- Papiroflexia transformable, entretenido
Si alguien tiene más enlaces interesantes al respecto o conoce bien el tema y quiere recomendarme algún libro o lugar donde conseguir materiales o algunas ideas al respecto puede un enviarme un mensaje a través del formulario de contacto; recopilaré las aportaciones más interesantes para publicar más adelante.
Actualización: Aquí van en plan rápido unos cuantos de enlaces con recursos sobre papiroflexia que me enviaron un montón de lectores aficionados al tema. Como necesitaré tiempo para mirarlos a fondo los vuelco aquí ahora; ya publicaré algunos más cuando me lleguen. Mis agradecimientos a todos los que enviaron sus aportaciones, creo que me resultarán muy valiosas para empezar.
En castellano:
- Asociación Española de Papiroflexia
- Grupo Zaragozano de Papiroflexia
- Cosas de Pajaritas
- DoblandoPapeles.org
- Origami Modular en Argentina (y otra)
- Creaorigami
- Cómo hacer papel sandwich [PDF], para darles más realismo
En inglés y otros idiomas:
- Joseph Wu’s Origami Page
- Origami MM’s Modular Mania
- Modular Origami
- Origami Resource Center
- Origami Video
- How to Fold an Origami Pigasus, el cerdo volador 🙂
- Origami & Math
- Gilad’s Origami Page
- Origamist
- Ryujin (en especial obras de Satoshi Kamiya)
Tags: ideas, matemática, proyecto tecnológico, educación tecnológica
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In Your Classroom: «Origami Master»
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